bs
bs
bs
bs
bs
bs
hubungi kami ; 081539
read more →
DERET FOURIER
Deret Fourier merupakan hampiran bagi suatu fungsi yang periodik. Deret Fourier berupa jumlah suku-suku sinus dan cosinus.
Perlu diketahui terlebih dahulu, suatu fungsi f(t) dikatakan periodik jika terdapat suatu bilangan positif T (yang disebut periode) sehingga
=f(t)})
dengan n sebarang bilangan bulat.
Misalkan fungsi f(t) berperiode 2π yang kontinu bagian demi bagian ditentukan dengan deret berikut yang disebut deret Fourier.
=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty%20}(a_{n}\cos%20nt+b_{n}\sin%20nt)})
…(1)
Untuk mencari koefisien deret Fourier a0,an,bn (n = 1, 2, …), digunakan teorema berikut.
dt=\dfrac{a_{0}}{2}\int_{-\pi%20}^{\pi%20}dt+\sum_{n=1}^{\infty%20}(a_{n}\int_{-\pi%20}^{\pi%20}\cos%20nt\%20dt+\int_{-\pi%20}^{\pi%20}b_{n}\sin%20nt\%20dt)})
atau
dt})
…(2)
Selanjutnya jika kedua ruas dikalikan dengan cos mt atau sin mt (m sebarang bilangan positif) sebelum diintegralkan, didapat
\cos%20nt\%20dt})
…(3)
dan
\sin%20nt\%20dt})
…(4)
Perlu diketahui hasil pengintegralan pada selang berapapun (asalkan panjangnya sama) untuk fungsi periodik selalu sama.
Persamaan (1) ~ (4) dapat diperluas untuk f(t) berperiode T menjadi
=\dfrac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty%20}(a_{n}\cos%202\pi%20n\dfrac{t}{T}+b_{n}\sin%202\pi%20n\dfrac{t}{T})})
…(5)
dengan
dt})
…(6)
\cos%202\pi%20n\dfrac{t}{T}\%20dt})
…(7)
\sin%202\pi%20n\dfrac{t}{T}\%20dt})
…(8)
Pemanfaatan Deret Fourier
Teknik Komputasi Nilai π
Misalkan f(t) = t2 untuk 0<t<2 dengan periode 2 dan definisikan f(t) = 2 untuk t bilangan genap. Koefisien deret Fourier untuk f(t) adalah:
Maka
=\dfrac{4}{3}+\dfrac{4}{\pi%20}\sum_{n=1}^{\infty%20}(\dfrac{\cos%20\pi%20nt}{n^{2}\pi%20}-\dfrac{\sin%20\pi%20nt}{n})})
Jika t=0, maka
=\dfrac{4}{3}+\dfrac{4}{\pi%20^{2}}\sum_{n=1}^{\infty%20}\dfrac{1}{n^{2}}=2})
Selanjutnya diperoleh jumlah deret berikut dan kita dapat memanfaatkannya untuk mengkomputasi nilai π.
Selain itu, terdapat cara lain untuk mengkomputasi nilai π yaitu dengan memanfaatkan deret berikut yang dapat diperoleh melalui deret Fourier dan deret pangkat.
Bandwidth-Limited Signals
Dalam komunikasi data, untuk mentransmisikan data yang berupa sinyal digital via media transmisi seperti kabel, serat optik, wireless dan satelit, dilakukan aproksimasi terhadap sinyal tersebut. Untuk melakukannya diperlukan analisis deret Fourier dengan batas deret tertentu (bilangan harmonik). Sinyal data dalam domain waktu dipetakan ke domain frekuensi. Besarnya bilangan harmonik menentukan keakuratan aproksimasi dan besarnya bandwidth data yang dapat ditransmisikan.
Spread Spectrum Watermarking
Watermarking adalah proses penyisipan cuplikan data (watermark) ke dalam data inang berupa gambar/suara dengan tujuan menjaga hak ciptanya. Selain tidak mempengaruhi kualitas gambar/suara, penyisipan watermark juga perlu dirancang agar “tahan banting” (robust) terhadap berbagai bentuk modifikasi data. Salah satu metode watermarking dengan robustness yang relatif tinggi adalah spread spectrum watermarking. Metode ini melakukan transformasi data ke dalam domain frekuensi dengan analisis deret Fourier, lalu dilakukan penyisipan watermark ke dalam data yang telah ditransformasikan tersebut.
read more →
Perlu diketahui terlebih dahulu, suatu fungsi f(t) dikatakan periodik jika terdapat suatu bilangan positif T (yang disebut periode) sehingga
dengan n sebarang bilangan bulat.
Misalkan fungsi f(t) berperiode 2π yang kontinu bagian demi bagian ditentukan dengan deret berikut yang disebut deret Fourier.
Untuk mencari koefisien deret Fourier a0,an,bn (n = 1, 2, …), digunakan teorema berikut.
Teorema 1: Keortogonalan fungsi sinus dan cosinusJika kedua ruas pada persamaan (1) diintegralkan terhadap interval [-π,π], dihasilkan
Untuk m, n bilangan positif berlaku
(sifat di atas berlaku untuk selang integrasi apapun dengan panjang 2π)
atau
Selanjutnya jika kedua ruas dikalikan dengan cos mt atau sin mt (m sebarang bilangan positif) sebelum diintegralkan, didapat
dan
Perlu diketahui hasil pengintegralan pada selang berapapun (asalkan panjangnya sama) untuk fungsi periodik selalu sama.
Persamaan (1) ~ (4) dapat diperluas untuk f(t) berperiode T menjadi
dengan
Pemanfaatan Deret Fourier
Teknik Komputasi Nilai π
Misalkan f(t) = t2 untuk 0<t<2 dengan periode 2 dan definisikan f(t) = 2 untuk t bilangan genap. Koefisien deret Fourier untuk f(t) adalah:
Maka
Jika t=0, maka
Selanjutnya diperoleh jumlah deret berikut dan kita dapat memanfaatkannya untuk mengkomputasi nilai π.
Selain itu, terdapat cara lain untuk mengkomputasi nilai π yaitu dengan memanfaatkan deret berikut yang dapat diperoleh melalui deret Fourier dan deret pangkat.
Bandwidth-Limited Signals
Dalam komunikasi data, untuk mentransmisikan data yang berupa sinyal digital via media transmisi seperti kabel, serat optik, wireless dan satelit, dilakukan aproksimasi terhadap sinyal tersebut. Untuk melakukannya diperlukan analisis deret Fourier dengan batas deret tertentu (bilangan harmonik). Sinyal data dalam domain waktu dipetakan ke domain frekuensi. Besarnya bilangan harmonik menentukan keakuratan aproksimasi dan besarnya bandwidth data yang dapat ditransmisikan.
Spread Spectrum Watermarking
Watermarking adalah proses penyisipan cuplikan data (watermark) ke dalam data inang berupa gambar/suara dengan tujuan menjaga hak ciptanya. Selain tidak mempengaruhi kualitas gambar/suara, penyisipan watermark juga perlu dirancang agar “tahan banting” (robust) terhadap berbagai bentuk modifikasi data. Salah satu metode watermarking dengan robustness yang relatif tinggi adalah spread spectrum watermarking. Metode ini melakukan transformasi data ke dalam domain frekuensi dengan analisis deret Fourier, lalu dilakukan penyisipan watermark ke dalam data yang telah ditransformasikan tersebut.
Langganan:
Postingan (Atom)
